Álgebra Geométrica: Notas Históricas
Introducción
La palabra “álgebra” con la que se designa una parte de las Matemáticas, proviene del término al-jabr que aparece en el título de un texto del siglo IX, escrito por el matemático árabe al-Khowarizmi.
Los contenidos y métodos de esta disciplina no han permanecido invariables a lo largo de los tiempos, sino que han estado sometidos a cambios diversos. Así, en sus inicios, el álgebra era el arte de reducir y resolver ecuaciones. Actualmente, el álgebra moderna se centra en el estudio de estructuras (grupos, anillos, ...), pero su punto de arranque proviene de las investigaciones del genial Evariste Galois (1811-1832) sobre la resolución de ecuaciones por radicales.
En la historia del álgebra se suelen distinguir tres periodos bien diferenciados:
(i) Periodo retórico, en el que todas las expresiones se escribían utilizando el lenguaje ordinario.
(ii) Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar símbolos y abreviaturas para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales.
(iii) Periodo simbólico, en el que se usaban símbolos especiales tanto para la incógnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones.
En la clasificación anterior no se incluye un tipo especial de álgebra que se sirve o se ayuda de diagramas para obtener resultados interesantes (expresiones notables, resolución de ecuaciones, ...). Esta álgebra geométrica o álgebra diagramática parece que se originó en la Escuela Pitagórica (allá por el siglo VI a. C.) y fue dada a conocer por Euclides de Alejandría (ca. 300 a. C.) en el libro II de sus famosos Elementos.
Euclides de Alejandría
En las líneas siguientes (haciendo un recorrido por distintas épocas y culturas, y centrándonos en la resolución de ecuaciones) ofreceremos algunos ejemplos de este tipo especial de álgebra en el que se utiliza el razonamiento visual en lugar del analítico.
2. Pitágoras y el álgebra geométrica
Pitágoras nació en la isla griega de Samos alrededor del año 570 a. C. Siendo joven, viajó por Egipto, India y Babilonia.
Alcanzada la madurez, Pitágoras se instaló en Samos gobernada por Polícrates. Debido a las divergencias entre las ideas políticas del tirano y las doctrinas religioso-filosóficas de Pitágoras, éste abandonó la isla que le vio nacer y viajó a Crotona, ciudad del sur de Italia, donde fundó una escuela que, en poco tiempo, adquirió una fama considerable. Entre sus discípulos, los pitagóricos, se encontraba Teano, hija de Milón, con la que se casó y tuvo tres hijos.
Para Pitágoras el número era el material esencial de todas las cosas. Los números pares eran femeninos y los impares, masculinos. El número 1, padre de todos los números, escapaba de esta clasificación. El número 5 simbolizaba el matrimonio, ya que era la suma del primer número femenino (2) y el primer número masculino (3).
Para los pitagóricos el círculo era la más bella de todas las figuras planas y la esfera el más hermoso de todos los sólidos. El universo de Pitágoras era, por tanto, esférico e infinito. En el centro estaba el fuego central que dirigía la actividad y el movimiento. El vacío infinito ocupaba la parte exterior y permitía respirar al universo. Alrededor del fuego central, describiendo órbitas circulares, giraban los cuerpos siguientes (en este orden): la contra-tierra, la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) y la esfera de las estrellas fijas.
Entre los descubrimientos matemáticos atribuidos a Pitágoras sobresale el famoso teorema geométrico que lleva su nombre:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
